対数の計算

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

指数の逆の操作としての対数の定義や、積・商の対数法則、底の変換公式を学びます。音の大きさやpH、地震の規模など桁違いの数値を比較・整理する場面で活躍します。事前に指数法則の計算や累乗の性質を十分に理解しておくと習得しやすくなります。

要点

真数の掛け算 $MN$ の対数を、それぞれの対数の足し算に分解できる公式です（ $a > 0, a \neq 1$ , $M > 0, N > 0$ ）。積の計算を加法に変換して扱いやすくするときに使います。

\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N

真数の割り算 $\frac{M}{N}$ の対数を、分子の対数から分母の対数を引く引き算に分解できる公式です。分数の対数を整理したり、複数の対数を1つにまとめたりするときに使います。

\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N

真数の指数 $k$ を、対数の前に出して係数として掛け算できる公式です。真数の累乗を簡単な形に直したいときや、未知の指数を前に下ろして方程式を解くときに使います。

\log_a M^k = k\log_a M

対数の底 $a$ を、都合の良い別の新しい底 $c$ に変換する公式です（ $c > 0, c \neq 1$ ）。問題の中で底がそろっていない対数を共通の底にそろえて計算するときに使います。

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

練習する問題セットを選んでください。