指数法則

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

指数を整数から有理数・実数へと拡張し、累乗根を含む指数法則の計算法を学びます。人口増加や放射性物質の減衰など、急激に変化する数量のモデル化に用いられます。事前に正の整数の累乗計算や文字式の掛け算・割り算を復習しておくと効果的です。

要点

同じ底 $a$ をもつ累乗どうしの掛け算では、指数 $m$ と $n$ を足し算できるという法則です。例えば $2^3 \times 2^4 = 2^7$ のように、掛け合わされた個数の合計を簡単に求められます。

a^m a^n = a^{m+n}

累乗 $a^m$ をさらに $n$ 乗するときは、指数どうしを掛けて $a^{mn}$ にまとめられる法則です。累乗の累乗を計算して式を整理するときに使います。

(a^m)^n = a^{mn}

負の指数 $a^{-n}$ は、正の累乗の逆数 $\frac{1}{a^n}$ を表すという定義です（ $a \neq 0$ ）。分母にある累乗を指数の形に直して、統一的に計算したいときなどに使います。

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

分数の指数 $a^{\frac{m}{n}}$ は、 $n$ 乗根（累乗根）を表すという定義です（ $a > 0$ ）。根号を含む式を指数の形に変換し、指数の計算法則をそのまま適用したいときに使います。

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)

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