常用対数

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

底を10とする常用対数の性質と、与えられた数値の桁数や小数の位を判定する方法を学びます。天文学や化学など非常に大きな数や極めて小さな数を概算・分析する際に用いられます。事前に一般の対数法則や累乗の計算法を身につけておくとスムーズです。

要点

常用対数 $\log_{10} N$ の値を調べることで、正の整数 $N$ の桁数を判定する式です。 $\log_{10} N$ の整数部分が $n - 1$ であるとき、 $N$ は $n$ 桁の数になります。

10^{n-1} \le N < 10^n \iff n - 1 \le \log_{10} N < n

1より小さい正の数 $N$ について、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるかを判定する式です。不等式 $-n \le \log_{10} N < -(n - 1)$ を満たす整数 $n$ を求めることで判定します。

10^{-n} \le N < 10^{-(n-1)} \iff -n \le \log_{10} N < -(n-1)

$5$ を $\frac{10}{2}$ と変形することで、既知の $\log_{10} 2$ の値から $\log_{10} 5$ を計算する関係式です。常用対数の問題で $\log_{10} 5$ の値が直接与えられていないときによく使います。

\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2

練習する問題セットを選んでください。