指数运算法则

日本学年参考：数学II

学习内容

学习将指数范围由整数拓展至有理数与实数，并掌握包含根式的指数运算法则。该法则常用于描述指数级增长、放射性衰变等快速变化的现实模型。在学习本内容前，复习正整数的幂运算与基本多项式运算法则将使学习更有效率。

要点

这一法则表明，当底数相同的两个幂相乘时，只需将指数 $m$ 与 $n$ 相加。例如 $2^3 \times 2^4 = 2^7$ 。

a^m a^n = a^{m+n}

这一法则表明，将幂 $a^m$ 再进行 $n$ 次方运算时，只需将两个指数相乘得到 $a^{mn}$ 。常用于化简幂的乘方。

(a^m)^n = a^{mn}

这一定义表明负指数 $a^{-n}$ 代表正指数幂的倒数 $\frac{1}{a^n}$ （其中 $a \neq 0$ ）。常用于将分母中的乘方改写为指数形式以统一计算。

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

这一定义表明分数指数 $a^{\frac{m}{n}}$ 表示 $n$ 次方根 $\sqrt[n]{a^m}$ （其中 $a > 0$ ）。它能将根式转换为指数形式，从而统一使用指数法则进行运算。

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a > 0)

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