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常用对数

指数与对数

日本学年参考：数学II

学习内容

学习以10为底的常用对数的性质，以及利用其确定巨大幂的位数或小数首位有效数字的方法。该方法常用于天文、化学等学科中对极极大数与极微小数进行估算。在学习本内容前，熟练掌握基本对数公式是顺利计算的关键。

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要点

此关系式通过常用对数 log⁡10N\log_{10} N 的取值范围来确定正整数 NN 的位数。若 log⁡10N\log_{10} N 的整数部分为 n−1n - 1，则 NN 是一个 nn 位数。

10n−1≤N<10n  ⟺  n−1≤log⁡10N<n10^{n-1} \le N < 10^n \iff n - 1 \le \log_{10} N < n

这是用来确定小于 1 的正数 NN 在小数点后第几位首次出现非 0 数字的式子。通过找出满足不等式 −n≤log⁡10N<−(n−1)-n \le \log_{10} N < -(n - 1) 的整数 nn 来做出判断。

10−n≤N<10−(n−1)  ⟺  −n≤log⁡10N<−(n−1)10^{-n} \le N < 10^{-(n-1)} \iff -n \le \log_{10} N < -(n-1)

通过将 55 改写为 102\frac{10}{2}，利用已知的 log⁡102\log_{10} 2 之值来计算 log⁡105\log_{10} 5。在题目未直接给出 log⁡105\log_{10} 5 时经常使用此技巧。

log⁡105=1−log⁡102\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2

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