中值定理与洛必达法则

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本项学习说明切线斜率等于区间整体平均变化率的点必定存在的拉格朗日中值定理，以及求未定式极限的洛必达法则。这些定理在证明单调性及化简极限中必不可少。学习本项前，需要牢固掌握导数运算与极限计算。

要点

这是拉格朗日中值定理。它表明在区间端点 $a$ 与 $b$ 之间，至少存在一个点 $c$ ，使得该点处的切线斜率 $f'(c)$ 等于两端点连线的平均斜率。

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad (a < c < b)

这是罗尔定理。它表明若区间两端的函数值相等（ $f(a) = f(b)$ ），则在两端之间必定存在一个点 $c$ ，使那里的切线完全水平（斜率 $f'(c) = 0$ ）。

f(a) = f(b) \implies f'(c) = 0 \quad (a < c < b)

这是洛必达法则，用于计算形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的未定式极限。通过把分子 $f(x)$ 与分母 $g(x)$ 分别求导转化为 $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ，再去求出极限值。

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

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