平均値の定理・ロピタルの定理

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

接線の傾きが区間全体の平均変化率に等しくなる点の存在を示す平均値の定理と、不定形の極限を微分で求めるロピタルの定理を学びます。関数の厳密な増減の証明や極限値の計算で広く使われます。関数の微分法と極限の計算知識が必要です。

要点

区間の両端 $a, b$ を結ぶ直線の平均の傾きと、まったく同じ瞬間の傾き（接線の傾き $f'(c)$ ）をもつ点 $c$ が $a$ と $b$ の間に必ず存在することを示す定理（平均値の定理）です。

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad (a < c < b)

両端の関数の高さが等しい（ $f(a) = f(b)$ ）とき、その間の点 $c$ で接線の傾きが水平（ $f'(c) = 0$ ）になる場所が必ずあることを示す定理（ロルの定理）です。山の頂上や谷の底を見つける土台になります。

f(a) = f(b) \implies f'(c) = 0 \quad (a < c < b)

$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty}{\infty}$ のように、そのままでは計算できない分数の極限を求めるときに使う定理（ロピタルの定理）です。分子 $f(x)$ と分母 $g(x)$ をそれぞれ別々に微分してから極限を調べることができます。

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

練習する問題セットを選んでください。