三角形的面积

日本学年参考：数学I

学习内容

学习利用两边夹角正弦值、内切圆半径以及海伦公式计算三角形面积的方法。本节以初等三角形面积公式和三角比为基础，拓展面积求法。这些公式常用于土地求积、多边形分割计算以及计算机图形学中的网格面积渲染。

要点

该公式利用相邻两边 $a, b$ 及其夹角 $C$ 计算三角形面积 $S$ 。无需测量高线，直接利用夹角的正弦值 $\sin C$ 即可求得面积。

S = \frac{1}{2}ab\sin C

该公式建立了三角形面积 $S$ 、内切圆半径 $r$ 与三边长 $a, b, c$ 之间的关系。在面积 $S$ 已知时，常用于反求内切圆半径 $r$ 。

S = \frac{1}{2}r(a + b + c)

这是仅凭三边长 $a, b, c$ 即可求得面积 $S$ 的海伦公式。其中的 $s$ 表示三边之和的一半（半周长 $\frac{a+b+c}{2}$ ），无需计算任何角度。

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \left(s = \frac{a+b+c}{2}\right)

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