反常积分

日本学年参考：大学1年级

学习内容

本节学习在积分区间无限延伸或被积函数存在奇点的情况下，通过极限运算求解反常积分（广义积分）的方法。这在连续型随机变量的期望计算及物理势能分析中频繁使用。学习前需要具备扎实的定积分基础与函数极限的计算能力。

要点

这是在无穷区间上计算曲线 $f(x)$ 下方面积的反常积分公式。先计算有限区间 $[a, b]$ 上的积分，然后让上限 $b$ 趋向于无穷大。

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx

当函数 $f(x)$ 在左端点 $x = a$ 处趋向无穷大时，使用此反常积分公式。从略偏右的 $a + \varepsilon$ 处开始积分，再取正数 $\varepsilon \to +0$ 的极限。

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx

该公式计算 $1/x^p$ 从 1 到无穷大的反常积分。仅当幂次 $p > 1$ 时面积才收敛为有限值 $1/(p-1)$ ；当 $p \le 1$ 时则发散至无穷大。

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \frac{1}{p-1} \quad (p > 1)

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