広義積分

学年の目安（日本）: 大学1年

学ぶこと

積分区間が無限に広がる場合や被積分関数が特異点を持つ場合に、極限操作を用いて値を求める広義積分を学びます。連続型確率変数の期待値計算や物理学のポテンシャル計算で多用されます。定積分の基礎と関数の極限の計算力が必要となります。

要点

右側が無限遠まで続く区間において、曲線 $f(x)$ の下の面積を計算する広義積分の式です。まず有限の区間 $[a, b]$ で積分を計算し、その後に上端 $b$ を無限大へ飛ばす極限をとります。

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x)\,dx

端点 $x = a$ で関数 $f(x)$ の値が無限大に発散してしまうときの広義積分の式です。端点をわずかに避けた $a + \varepsilon$ から積分を計算し、正の数 $\varepsilon$ を限りなく 0 に近づけます。

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx

関数 $1/x^p$ を 1 から無限大まで足し合わせた面積を求める公式です。指数 $p$ が $p > 1$ のときだけ有限の面積 $1/(p-1)$ に収まり、 $p \le 1$ のときは無限大に発散します。

\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx = \frac{1}{p-1} \quad (p > 1)

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