約分と乗除

学年の目安（日本）: 数学II

学ぶこと

分数式の分子と分母を因数分解して、共通する因数を約分する方法と、分数式のかけ算・わり算の計算を学びます。方程式や微分積分で式を整理するときの基礎になります。事前に因数分解と、分数のかけ算・わり算を身につけておくと円滑です。

要点

分子と分母に共通する因数は、約分して消せます。消せるのは、かけ算でつながった因数だけです。たし算でつながった項は、消せません。

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}

約分の前に、分子と分母を因数分解します。平方の差や、二次式の因数分解が、よく使われます。

x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)

かけ算は、分子どうし、分母どうしをかけます。わり算は、わる式の分子と分母を入れかえて、かけ算にします。

\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}, \quad \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}

例題

次の式と等しいものを選びなさい。

\frac{x^{2} + 5x + 6}{x^{2} + 3x + 2}

{{}\frac{x^{2} + 5x + 6}{x^{2} + 3x + 2}}

{{}= \frac{\left(x + 2\right)\left(x + 3\right)}{\left(x + 1\right)\left(x + 2\right)}}

{{}= \frac{x + 3}{x + 1}}

答え:

\frac{x + 3}{x + 1}

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