頂点

学年の目安（日本）: 数学I

学ぶこと

二次関数の式を平方完成し、放物線の頂点の座標や対称軸の方程式を求める方法を学びます。グラフの概形を把握したり、最大・最小の候補を特定したりする際に中心的な役割を果たします。事前に式の展開と因数分解、平方根の扱いを確認しておくと安心です。

要点

この標準形を見ると、放物線の頂点の座標 $(p, q)$ がひと目でわかります。グラフを描くときや、最大値・最小値を調べるときに使います。

y = a(x - p)^2 + q \implies (p, q)

平方完成をして $( )^2$ の形を作ることで、一般形の二次式から頂点や対称軸を読み取れる式へと変形できます。

y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ の頂点の座標を、係数 $a, b, c$ の値から直接計算できる公式です。平方完成の手順を省きたいときに使います。

\left(-\frac{b}{2a}, \; -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)

放物線を左右対称に二等分する中心の縦線（対称軸）を表す直線の方程式で、頂点の $x$ 座標と同じ値になります。

x = -\frac{b}{2a}

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