合同式

学年の目安（日本）: 数学A

学ぶこと

ある数で割った余りが等しい整数を同一視して計算する合同式の扱い方を学びます。大きな累乗の余りの決定や規則性の証明など、整数の性質を調べる際に有用です。事前に整数の除法と余りの性質を理解しておくと効果的です。

要点

2つの整数 $a$ と $b$ を $m$ で割ったときの余りが等しいことを表す合同式の定義です。余りが等しいとき、差 $a - b$ は必ず $m$ の整数倍になります。

a \equiv b \pmod{m} \iff a - b = km \quad (k \in \mathbb{Z})

余りを計算するときに使う性質です。割る数 $m$ が同じであれば、通常の等式と同じように合同式同士を足し算・引き算・掛け算できます。

a \equiv b, \; c \equiv d \implies a \pm c \equiv b \pm d, \; ac \equiv bd \pmod{m}

大きな数の累乗を $m$ で割ったときの余りを求める性質です。両辺を同じ正の整数 $n$ 乗しても余りの関係は保たれるため、底の数 $a$ をあらかじめ小さい余り $b$ に置き換えて計算できます。

a \equiv b \implies a^n \equiv b^n \pmod{m}

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