分解质因数

日本学年参考：初中1年级

学习内容

学习将大于或等于2的自然数分解为质数乘积的质因数分解方法。这在探究约数与倍数的性质，以及求解最大公约数和最小公倍数时非常实用。在学习前，先理解质数的概念并熟练掌握基本的除法运算将有助于顺利掌握。

要点

这是把大于等于 2 的整数 $n$ 分解为质数相乘的式子（质因数分解）。 $p$ 表示质数，指数 $a$ 表示该质数相乘的次数。

n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}

这是计算一个整数共有多少个正约数 $N$ 的公式。把质因数分解中每个质数的指数 $a$ 分别加 1，再全部乘起来。

N = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)

这是计算一个整数的所有正约数之和 $S$ 的公式。针对每一个质因数 $p$ ，将 1 到其各次乘方分别相加，再把这些和全部相乘。

S = (1 + p_1 + \dots + p_1^{a_1})\cdots(1 + p_k + \dots + p_k^{a_k})

这个式子表示两个正整数 $a$ 与 $b$ 相乘的积，等于它们的最大公约数（gcd）与最小公倍数（lcm）相乘的积。常用于已知其中一个来求另一个。

ab = \gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b)

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